חורף 2022 – שאלה 1 סעיף באינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

חורף 2022 – שאלה 1 סעיף ב

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף ב (1) – הוכחה באינדוקציה

3סעיף ב (2) – חישוב המכפלה

📄 נוסח השאלה

(1) הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים:

(1 + 11) · (1 + 12) · …

… · (1 + 1n) = n + 1

(2) חשבו את המכפלה:

(1 + 12) · (1 + 13) · …

… · (1 + 199)

סעיף ב (1) – הוכחה באינדוקציה

(1 + 11) · (1 + 12) · …
… · (1 + 1n) = n + 1
(1 + 12) · (1 + 13) · …
… · (1 + 199)

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: 1 + 11 = 2. אגף ימין:

1 + 1 = 2 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

(1 + 11) · … · (1 + 1k) = k + 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף ב (1) – הוכחה באינדוקציה · המשך

(1 + 11) · (1 + 12) · …
… · (1 + 1n) = n + 1
(1 + 12) · (1 + 13) · …
… · (1 + 199)

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

(1 + 11) · … · (1 + 1k + 1)

= k + 2

נפריד את הגורם האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= (k + 1) · (1 + 1k + 1)

מכנה משותף בסוגריים:

= (k + 1) · k + 2k + 1

📐 הנחת האינדוקציה

(1 + 11) · … · (1 + 1k) = k + 1

סעיף ב (1) – הוכחה באינדוקציה · המשך

(1 + 11) · (1 + 12) · …
… · (1 + 1n) = n + 1
(1 + 12) · (1 + 13) · …
… · (1 + 199)

= (k + 1) · k + 2k + 1

נצמצם את (k + 1):

= k + 2 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף ב (2) – חישוב המכפלה

(1 + 11) · (1 + 12) · …
… · (1 + 1n) = n + 1
(1 + 12) · (1 + 13) · …
… · (1 + 199)

המכפלה הנתונה היא המכפלה מסעיף (1) בעבור n = 99, בלי הגורם הראשון (1 + 11) = 2.

(1 + 11) · … · (1 + 199) = 100

📐 הנוסחה מסעיף (1)

נחלק בגורם הראשון:

(1 + 12) · … · (1 + 199)

= 1002 = 50

✅ פתרון סופי: 50

📐 הנוסחה מסעיף (1)

(1 + 11) · … · (1 + 1n) = n + 1

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא